排列組合：原理、公式與實際應用

排列與組合是計數問題的基礎工具。它們回答「從一組物品中取出若干個，有多少種方式」這類問題，差別在於是否考慮順序。掌握這個區別與對應公式，可以正確解決許多機率、分配與選擇問題。

核心區別：順序是否重要

排列（Permutation）考慮順序。從 5 個人中選 3 個人排成一列照相，不同的站位算不同結果。公式通常寫成 nPr 或 P(n, r) = n! / (n − r)!。

組合（Combination）不考慮順序。從 5 個人中選 3 個人組成委員會，只要成員相同就視為同一種選法，不管內部如何排列。公式為 nCr 或 C(n, r) = n! / (r! × (n − r)!)。

兩者的關係是：排列 = 組合 × r!。因為每一種組合內部還可以有 r! 種排列方式。

階乘的角色

階乘 n! = 1 × 2 × … × n，定義 0! = 1。它表示 n 個不同物品的全排列數。排列與組合公式都建立在階乘之上。當 n 較大時，階乘增長極快，直接計算可能溢位，因此工具與程式通常會採用逐步乘除或對數方式來保持數值穩定。

實際例子

• 從 10 支隊伍中選出冠軍、亞軍、季軍（順序重要）→ 排列 P(10, 3)。
• 從 10 支隊伍中選出 3 支進入下一輪（順序不重要）→ 組合 C(10, 3)。
• 樂透從 49 個號碼中選 6 個（順序不重要）→ C(49, 6)。
• 密碼如果是 4 位且數字可重複，則是另一種計數（每格 10 種選擇），不直接用排列組合公式。

判斷題目時，先問：選出的項目之間有沒有「第幾名」「前後順序」或「位置差異」？如果有，用排列；如果只在乎哪些被選中，用組合。

與機率的關係

古典機率中，許多問題的機率 = 有利結果數 / 總結果數。排列組合用來計算這兩個數字。例如公平抽籤時，每種組合的機率相等，就可以用組合數來計算機率。注意前提是每種結果確實等可能，否則不能直接套用。

常見錯誤

• 混淆排列與組合，導致多算或少算 r! 倍。
• 允許重複與不允許重複混用。標準 nPr / nCr 假設不重複選取。
• 忽略「至少」「恰好」等條件，需要用互補或分類討論。
• 數字過大時手算出錯，應使用工具驗證。

使用計算工具

排列組合工具可以輸入 n 與 r，立即得到 nPr 與 nCr 的值，並處理階乘。適合驗證手算、解決作業問題或快速估算。輸入時確認 n ≥ r ≥ 0，且皆為非負整數。工具在本地計算。

Wusper 的相關工具提供這些功能。它們是計算輔助，解題時仍應先理解題意屬於排列還是組合，再套用正確公式。複雜的計數問題可能需要更多技巧（如容斥原理），超出基本工具範圍。